da seit meinem letzten Artikel zum Thema Chaos und - im weiteren Sinne Fraktale - bereits einige Zeit vergangen ist hier noch ein Nachtrag aus den Untiefen meines Massenspeichers (Festplatte darf man ja heute nicht mehr sagen...)

Ich habe dieses System bereits vor einiger Zeit simuliert und untersucht - dabei ist unter anderem auch mit Hilfe von Java3D diese Visualisierung entstanden:

Diese Simulation zeigt den Verlauf der Bewegung des Pendels in der x-y-Ebene aus zwei verschiednen Anfangszuständen heraus: beide unterscheiden sich nur in den x- und y-Koordinaten um jeweils 0.01 bei einer Auslenkung in x- und y-Richtung um 150 bzw. -140. Man sieht deutlich, dass sich die Trajektorien zu Anfang sehr gleichen - bei ungefähr Sekunde 15 verlassen sie die bis dahin beinahe identische Trajektorie jedoch - dies resultiert dann im zur Ruhe kommen über verschiedenen Magneten.

Dieses System wird oft analysiert und dargestellt indem die Ebene abhängig vom Endzustand des Systems eingefärbt wird: Jedem Magneten wird eine Farbe zugeordnet und jeder Punkt der Ebene wird mit der Farbe desjenigen Magneten eingefärbt über dem das System zur Ruhe kommt, wenn es den jeweiligen Punkt als Startzustand benutzt. Meist wird nur die räumliche Position im Startzustand nicht trivial gewählt. Die Geschwindigkeitskomponenten werden zu Beginn meist mit 0.0 initialisiert. Auch ich habe das in meiner folgenden Visualisierung so gehalten: Es folgen drei Abbildungen, für die die Wartezeit dafür, ob sich das Pendel doch noch einmal aus dem Griff des jeweiligen Magneten befreien kann jeweils ein wenig länger gewählt wurde:

Berechnung des "fangenden Magneten" mit kurzer Wartezeit

Berechnung des "fangenden Magneten" mit längerer Wartezeit

Berechnung des "fangenden Magneten" mit langer Wartezeit

Die Färbung weist wie gesagt darauf hin, über welchem Magneten das Pendel aus der jeweiligen Startposition zu Ruhe kommt, die Intensität der Farbe zeigt, wie lange das Pendel bis zur Ruhestellung benötigt hat (je dunkler, desto länger).

Man kann hier erkennen, dass eintritt was das 3D-Experiment bereits angedeutet hat: Das System weist chaotische Züge auf: direkt benachbarte Positionen führen zu extrem unterschiedlichen, nicht voraussagbaren Unterschieden im Ausgang - der klassische Schmetterlingseffekt. Als Illustration hier nochmals ein kleinerer Ausschnitt des oben gezeigten Bildes in höherer Auflösung: die Bilder oben zeigen die Ebene in der Ausdehnung in x- und y-Richung zwischen -150 und 150. Darauf folgt der vergrößerte Ausschnitt zwischen 30<=x<=60 und 40<=y<=70 und darunter das Ergebnis der Berechnung dieses Ausschnittes in höherer Auflösung:

Hervorhebung des gezoomten Bereichs im Originalbild

Vergrößerung des gezoomten Bereichs im Originalbild

Berechnung des gezoomten Bereichs mit höherer Auflösung