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Implizites Eulerverfahren

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04.06.2018

Nachdem ich gerade meinen Osterurlaub verlebe habe ich begonnen, ein Thema anzufassen, das mich schon länger beschäftigt - aber für Mathematik brauch ich Ruhe... Ich wollte zunächst hinter die Magie der impliziten Verfahren steigen und schauen, ob es eien Möglichkeit gibt, diese ebenfalls so generisch zu betrachten, dass man auf einfache Art und Weise ein Framework dafür erstellen kann

Ich stellte dazu zunächst die Verfahren anhand einer einfachen Differentialgleichung ersten Grades gegenüber:

Dazu benutzte ich ein kleines Python-Script: 

#!/usr/bin/python


'''
Test for implicit and explicit Euler method for
numerically solving differential equations using
y'=i-my as an example and showing instability as
well as slow convergence as disadvantages
in either method
'''


import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np


def f(t):
    return 1-np.exp(-t)


t2 = np.arange(0.0, 11.0, 0.02)


h=1.3
m=-1
I=1
x = 0
y= 0
plt.figure(1)
plt.subplot(211)
plt.plot([x],[y],'ro')
while x<10:
	ynew=(y+h*I)/(1-m*h)
	print " %f " % (ynew)
	y=ynew
	x=x+h
	plt.plot([x],[y],'ro')
plt.plot(t2, f(t2), 'k')


plt.axis([0, 11, 0, 1.5])


h=1.3
m=-1
I=1
x = 0
y= 0
plt.subplot(212)
plt.plot([x],[y],'ro')
while x<10:
	ynew=y+h*(I+m*y)
	print " %f " % (ynew)
	y=ynew
	x=x+h
	plt.plot([x],[y],'ro')
plt.plot(t2, f(t2), 'k')


plt.axis([0, 11, 0, 1.5])


plt.show()

Dieses Skript liefert folgendes Ergebnis (oben das implizite Verfahren, unten das explizite):

Man sieht deutlich die sehr langsame Konvergenz des impliziten Verfahrens - aber auch das Überschwingen und die Instabilität des expliziten Verfahrens bei zu groß gewählter Schrittweite...

Leider ist mir noch keine Möglichkeit eingefallen, wie man das implizite Verfahren so generisch gestalten könnte, dass man einfach die Differentialgleichung in ein Framework fallen lässt und die Berechnung startet: Dafür müsste man sich mit symbolischer Algebra und Reihenentwicklung auseinandersetzen (jedenfalls ist das meine aktuelle Meinung nach Studium des Internet).

Artikel, die hierher verlinken

Visualisierung von Strange Attractors mit Java3D

26.02.2020

Ich wollte mich schon lange mal wieder mit Chaos und Systemen mit Strange Attractors befassen. Schließlich habe ich ja die entsprechende Infrastruktur bereits als Framework für die numerische Behandlung von Differentialgleichungssystemen verfügbar.

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Strange Attractors mit BigDecimal

26.02.2020

Nachdem ich mir in meinem früheren Artikel zum Thema der Mathematik mit beliebiger Präzision in Java noch nicht sicher war ob es Sinn machen würde, mein Framework für die numerische Behandlung von Differentialgleichungssystemen auf die Option der Benutzung von BigDecimal als unterliegenden Datentyp zu erweitern, habe ich nun doch damit experimentiert:

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Mathematik mit beliebiger Präzision in Java

11.11.2018

Wann immer ich hier über Experimente mit numerischen Lösungsverfahren für Differentialgleichungssysteme berichte, habe ich im Hinterkopf, dass diese Verfahren eigentlich völlig ungeeignet dafür sind, solche Systeme zu analysieren, da heutige Digitalcomputer bereits rationale Zahlen nicht exakt darstellen können - von irrationalen ganz zu schweigen...

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Chaotische Systeme und implizites Eulerverfahren

01.10.2018

Nachdem ich erfolgreich einige chaotische Systeme mittels numerischer Verfahren untersucht hatte, reifte in mir der Entschluss, für diese Systeme implizite und explizite numerische Verfahren gegenüberzustellen.

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  • Links - Verschiedenes

    03.11.2020

    Hier einmal einige Links, die einfach in keine Kategorie passen...

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