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Implizites Eulerverfahren

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04.06.2018

Nachdem ich gerade meinen Osterurlaub verlebe habe ich begonnen, ein Thema anzufassen, das mich schon länger beschäftigt - aber für Mathematik brauch ich Ruhe... Ich wollte zunächst hinter die Magie der impliziten Verfahren steigen und schauen, ob es eien Möglichkeit gibt, diese ebenfalls so generisch zu betrachten, dass man auf einfache Art und Weise ein Framework dafür erstellen kann

Ich stellte dazu zunächst die Verfahren anhand einer einfachen Differentialgleichung ersten Grades gegenüber:

Dazu benutzte ich ein kleines Python-Script: 

#!/usr/bin/python


'''
Test for implicit and explicit Euler method for
numerically solving differential equations using
y'=i-my as an example and showing instability as
well as slow convergence as disadvantages
in either method
'''


import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np


def f(t):
    return 1-np.exp(-t)


t2 = np.arange(0.0, 11.0, 0.02)


h=1.3
m=-1
I=1
x = 0
y= 0
plt.figure(1)
plt.subplot(211)
plt.plot([x],[y],'ro')
while x<10:
	ynew=(y+h*I)/(1-m*h)
	print " %f " % (ynew)
	y=ynew
	x=x+h
	plt.plot([x],[y],'ro')
plt.plot(t2, f(t2), 'k')


plt.axis([0, 11, 0, 1.5])


h=1.3
m=-1
I=1
x = 0
y= 0
plt.subplot(212)
plt.plot([x],[y],'ro')
while x<10:
	ynew=y+h*(I+m*y)
	print " %f " % (ynew)
	y=ynew
	x=x+h
	plt.plot([x],[y],'ro')
plt.plot(t2, f(t2), 'k')


plt.axis([0, 11, 0, 1.5])


plt.show()

Dieses Skript liefert folgendes Ergebnis (oben das implizite Verfahren, unten das explizite):

Man sieht deutlich die sehr langsame Konvergenz des impliziten Verfahrens - aber auch das Überschwingen und die Instabilität des expliziten Verfahrens bei zu groß gewählter Schrittweite...

Leider ist mir noch keine Möglichkeit eingefallen, wie man das implizite Verfahren so generisch gestalten könnte, dass man einfach die Differentialgleichung in ein Framework fallen lässt und die Berechnung startet: Dafür müsste man sich mit symbolischer Algebra und Reihenentwicklung auseinandersetzen (jedenfalls ist das meine aktuelle Meinung nach Studium des Internet).

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